Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ok, wo stehen wir jetzt? Sie haben aus der Schule Ihre Anschauung vom R2 und R3 als die Parametrisierung der Anschauungsebene des Anschauungsraums mitgebracht.

Sie haben in der Schule dort schon mit Tupeln, mit Paaren und mit Triplen gerechnet und das Ganze haben wir jetzt einfach auf den RN verallgemeinert.

Haben dem RN eine algebraische Struktur, also eine Addition und ein Multiplizieren mit Zahlen, mit reellen Zahlen gegeben und haben da gewisse Strukturen eingeführt, die haben eine geometrische Interpretation.

Natürlich erst mal nur am R2 und R3 und wir haben gesehen, vieles was wir da aus unserer Geometrievorstellung kennen, können wir jetzt da rigoros beweisen und eben nicht nur für N gleich 2 und 3, sondern allgemein.

Also anscheinend steckt hinter dem RN ein bisschen mehr an Struktur und das wollen wir jetzt versuchen ein bisschen herauszuarbeiten.

Wir werden jetzt erst mal ähnliche Mengen mit solchen Operationen plus und mal einer reellen Zahl kennenlernen, die in gewisser Weise ähnlich, später werden wir sagen, isomorph gleich zum RN sind.

Und dann wird es Anlass sein, den dahinter liegenden Begriff allgemein zu formulieren und auf dieser allgemeinen Abstraktionsebene werden wir uns dann lange Zeit erst einmal bewegen.

Das ist vielleicht eine gewisse Hürde für Sie, aber ich kann Sie nur wirklich ganz vehement ermutigen, also insbesondere auch die Lehramtsstudenten und auch die Physikstudenten, diese Abstraktionsebene anzunehmen.

Ohne die funktioniert die Mathematik nicht, da funktioniert insbesondere auch die Anwendung der Mathematik nicht und Physik ist ja auch ein bisschen mehr als nur eine Kugel die schiefe Ebene runterrollen zu lassen.

Wenn Sie irgendwann mal Quantenphysik verstehen wollen, müssen Sie wesentlich noch wesentlich abstraktere Dinge verstehen können als das was wir jetzt dann anfangen zu besprechen.

Okay, das haben wir alles schon besprochen, jetzt bin ich natürlich vielleicht in die falsche Richtung gehe.

Und das erste Beispiel was so ähnlich wie der RN ist, also genauer jetzt hier in der Notation der RN plus eins, ist die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich N.

Ich gehe mal davon aus, dass Sie alle wissen was ein Polynom ist, was der Grad eines Polynoms ist und hier ist das nochmal hingeschrieben.

Das ist jetzt für uns erstmal eine Abbildung von R nach R, eine Funktion in einer ganz speziellen Gestalt, nämlich gegeben über gewisse Koeffizienten a0 bis aN

und diese Koeffizienten aNy sind mit dem Newtonmonom x hoch N zu multiplizieren und das Ganze aufzuaddieren.

Okay, warum jetzt Grad kleiner gleich N, ich setze jetzt nicht voraus, dass das aN sozusagen der Koeffizient vor der höchsten Potenz von Null verschieden ist,

dann würde man von Grad N sprechen oder allgemein ist eben der Grad des Polynoms die Potenz sozusagen von oben gesehen, wo zum ersten Mal ein Koeffizient ungleich Null auftaucht.

Geht also dann los, lassen wir mal die Frage mit den Konstanten, das wären die zum Grad Null, die Geraden, das wären die zum Grad Eins, die Parabeln, grob gesprochen, die zum Grad Zwei und so weiter.

Und sie haben ja auch schon mit in der Schule mit Polynomen und mit wesentlich allgemeineren Funktionen algebra agiert, das heißt sie haben zum Beispiel die addiert.

Und zwar haben sie die dadurch addiert, indem sie sie immer punktweise addiert haben.

Vielleicht haben sie sich gar nicht die Frage gestellt, was entsteht denn da überhaupt für ein Objekt, ist das vielleicht auch eine Abbildung, auch eine Funktion,

sondern es wurde halt wirklich F von X plus G von X gebildet, aber natürlich wenn man das tut, für jedes X aus dem Definitionsbereich,

hier in unserem Fall wäre der Definitionsbereich natürlich ganz R, wir könnten ihn aber andererseits auch einschränken auf dem Intervall, das macht nicht sehr viel Unterschied.

Wenn man das macht, definiert man eine neue Abbildung von R nach R, eine neue Funktion.

Und diese Funktion geben wir als einen Namen, die nennen wir F plus G, das ist genau das, wenn sie hinschreiben Sinus, Plus, was auch immer.

Okay, genauso machen wir das mit der Skalarmultiplikation, das heißt also wir definieren für einen Skala C, für eine reelle Zahl C, C mal F,

indem wir darunter die Funktion verstehen, die an jedem X aus dem Definitionsbereich gerade definiert ist als C mal F von X.

Vielleicht noch zur Notation, die Menge alle dieser Polynome vom gerade kleiner gleich N, die nennen wir RnX,

das X wäre eigentlich nicht wirklich notwendig, aber das ist so ein bisschen eine Schreibweise aus der Algebra, die später, wenn wir allgemeinere Körper kennen, etwas mehr Sinn macht.

Das X deutet sozusagen die Variable an, das R deutet die Zahlmenge an, über der sich das Ganze bewegt und das N bedeutet eben diesen Maximalgrad an.

Wir könnten genauso gut natürlich auch Polynome QnX betrachten, indem wir nur rationale Zahlen zulassen oder ZnX,

aber unsere Grundmenge an Zahlen sollen ja jetzt erstmal die reellen Zahlen sein.

Okay, jetzt haben wir also auf der Menge der Polynome, auf dieser Menge RnX eine Addition, eine innere Verknüpfung und eine Skalarmultiplikation definiert

und jetzt fragen wir uns, hat die genau die gleichen Eigenschaften, die wir für den Rn kennengelernt haben?

Oder nochmal anders gefragt, hat das irgendwas mit dem Rn, ich sag ja genauer mit dem Rn plus eins zu tun, ist das vielleicht nur eine andere Art, den Rn plus eins hinzuschreiben?

Oder wo würden Sie denn hier ein Rn plus eins Tupel sehen, bei diesem Polynom? Sehen Sie da eins?

Also wir haben zumindest, haben wir n plus eins Zahlen an 0 bis an, die können wir jetzt zumindest so mal zum n plus eins Tupel zusammenfügen.

Inwieweit dieses Tupel jetzt gleich der Abbildung ist, gleich dem Polynom, das Polynom repräsentiert, das sind alles Dinge, wofür wir noch Begrifflichkeiten entwickeln müssen, das müssen wir sehen.

Und das sehen wir dann, wenn wir diesen Zusammenhang uns ein bisschen genauer anschauen.

Das heißt also, wir schauen uns mal jetzt eine Abbildung an, die auf der einen Seite so einer Funktion aus dem Rn x, das ist jetzt hier, später werden Sie hoffentlich sich in der Magen umdrehen, wenn Sie so eine Notation sehen.

Das ist noch ein bisschen Zugeständnis an Schulgebrauch, wir schreiben natürlich nicht f von x für ein Polynom, f von x ist der konkrete Wert an der Stelle x, die Funktion selbst würde dann sinnvollerweise mit f oder maximal mit f, auf Punkt, zu sozusagen für den Platzhalter geschrieben werden.

Aber jetzt bin ich hier immer ein bisschen nachlässig und was macht diese Abbildung, also wir definieren eine Abbildung auf den Raum dieser Polynome von gerade kleiner gleich n, in den Raum der n plus eins Tupel, in dem wir genau das, wie gerade beschrieben machen.

Wir ordnen so einen Polynom genau dieses Tupel an Koeffizienten zu.

Ok und die Behauptung ist jetzt, zumindestens ist diese Abbildung bijektiv, das heißt als Mengen sind diese Mengen in gewisser Weise gleich.

Warum ist die Abbildung bijektiv? Schauen wir uns mal an, was wir davon schon sehen können.

Die Surjektivität ist glaube ich überhaupt kein Problem, was bedeutet die Surjektivität? Ich nehme irgendein Tupel her und dann muss es ein Polynom dazu geben, das zu diesem Tupel im Sinne von Koeffizienten Tupel gehört und dann mach ich das halt einfach so, dann definiere ich mein Polynom genau auf diese Weise.

Wesentlich interessanter und schwieriger und auch ein bisschen jenseits von unseren bisherigen Möglichkeiten ist die Injektivität.

Die Injektivität bedeutet doch, wenn ich zwei Tupel habe, die gleich sind, dann muss auch das Polynom gleich sein oder anders gesagt ein Polynom kann nicht zwei verschiedene Darstellungen haben.

Und das, das werden wir relativ bald sehen, das wiederum ist äquivalent damit, dass ich das Nullpolynom, also die Abbildung, die jedes x auf Null abbildet, nur mit den Koeffizienten a0 gleich 0 und so weiter bis an gleich 0 darstellen kann.